Connectors floppen Straight

7 07 2007

Zum Aufwachen habe ich mir gerade die Frage gestellt, wie hoch die Chance ist, mit Connectoren auf der Hand eine Straße zu floppen.

Dabei soll die Farbe keine Rolle spielen. Die Berechnung erfolgt aus Sicht und Wissen des Spielers.

Ich würde sagen, die Chance kann aus den Outs berechnet werden, die pro Karte des Flops existieren.

Beispiel

Hand ist 78

Die 1. Karte des Flops muß eine von sechs Werten sein, hier die 9, T, J, 6, 5, 4, in je vier Farben, also 6*4=24 Outs = 24/50 Wahrscheinlichkeit.

Die 2. Karte des Flops hat verschiedene Möglichkeiten die Straße zu erreichen, je nachdem, wie die erste kam. Also eine Fallunterscheidung, zum besseren Aufwachen vollständig:

1. Fall: es kam die 4 als 1. Karte des Flop

Dann hilft für die zweite und dritte Karte nur noch die 5 und 6, egal, welche zuerst. Daß eine 5, dann eine 6 kommt ist 4/49 * 4/48, erst die 6 dann die 5 desgleichen, beide Ergebnisse sind gleich hilfreich, also liegt die Erfolgswahrscheinlichkeit bei diesem Fall bei 2*4*4/(49*48).

2. Fall: es kam der J als 1. Karte des Flop

Dieser Fall ist analog zum 1. Fall, allerdings mit 9 und T als fehlende Karten, also wieder 2*4*4/(49*48).

3. Fall: es kam die 5 als 1. Karte des Flop

Dann hilft für die zweite und dritte Karte: 69 und 46. Beide Fälle sind mit 2*4*4/(49*48) wahrscheinlich und gleich hilfreich, also ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall 4*4*4/(49*48).

Mental Note: Ändert das Vorhandensein der selben 6’en in beiden Fällen etwas?

4. Fall: es kam die T als 1. Karte des Flop

Dieser Fall ist analog zum 3. Fall, allerdings mit 69 und 9J. Beide Fälle sind mit 2*4*4/(49*48) wahrscheinlich und gleich hilfreich, also ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall ebenfalls 4*4*4/(49*48).

Mental Note: Ich fürchte, die Zusammenführung führt zu einem Rechenfehler durch die doppelte Berücksichtigung derselben Karten im Flop.

5. Fall: es kam die 6 als 1. Karte des Flop

Dann hilft für die zweite und dritte Karte: 45, 9T. Beide Fälle sind mit 2*4*4/(49*48) wahrscheinlich und gleich hilfreich, also ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall 4*4*4/(49*48).

6. Fall: es kam die 9 als 1. Karte des Flop

Dieser Fall ist analog zum 5. Fall, allerdings mit 69 und 9J, also wieder 4*4*4/(49*48).

Zusammenführung

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Eintreten des erfragten Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens einer der sechs notwendigen Zahlen multipliziert mit der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten der sechs sich daraus ergebenden Fälle. Also ist die Rechnung:

p(Connectors floppen zu Straight) = 24/50 * ( 2*4*4/(49*48) * 2 + 4*4*4/(49*48) * 4) =  24/50 * (4^3 + 4^4) / (49*48) = 24/50 * 320/2352 ~= 6,53% oder 14,3125 : 1.

Mit den Zweifeln aus den Rechenfehlern schätze ich die Erfolgswahrscheinlichkeit bei etwa 6% oder 17:1.

Zweifel

  • Müssen statt der plumpen Fallsummen Gegenwahrscheinlichkeiten genutzt werden?
  • In die Rechnung ist nicht eingeflossen, daß höchstens einer der sechs Fälle eintreten kann.
  • Hat die Aufführung derselben Erfolgsfälle in unterschiedlichen Fällen korrekt (ich glaube nicht, siehe vorangegangener Zweifel) oder darf jede Kartenkombination nur einmal gerechnet werden?
  • Randstraßen, die nicht drei Möglichkeiten der Vervollständigung auf beiden Seiten besitzen, sind nicht berücksichtigt.
  • Ich rate, daß die eben angeführten Zweifel eher marginale Auswirkungen auf das Gesamtergebnis haben, die Rundung oben sei hinreichend pragmatisch.

Kommentare und Fehlerkorrekturen sind willkommen.

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